Question

如圖，OABC是一個放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，平行于對角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，直線運(yùn)動的時間為t(秒)．

(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)t為何值時，MN=AC；
(3)設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時，S有最大值?并求S的最大值．

Answer 1

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，4)（2）當(dāng)t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC．
(3) 拋物線S="-" t²+4 t，當(dāng)t=3時，S有最大值6．

解析試題分析：解：(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，4) (2)當(dāng)t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC(3) 當(dāng)t=3時，S有最大值6．

(2)當(dāng)0<t≤3時，(圖1)
∵M(jìn)N∥AC,且MN=AC，
∴M是OA的中點(diǎn)．
∴t=1.5秒．

當(dāng)3＜t＜6時，(圖2)
設(shè)直線m與x軸交點(diǎn)為D，
∵M(jìn)N∥AC且MN=AC，
∴M為AB的中點(diǎn)．
可證：△AMD≌△BMN．
∴BN=AD=t-3．
∴△BMN～△BAC．
∴
∴=.
∴t=4.5秒．
當(dāng)t=1.5秒或t=4.5秒時，MN=AC．

(3)當(dāng)0<t≤3時，OM=t．(圖3)
由△OMN～△OAC，得，
∴ON=t，S=t²．
當(dāng)3＜ t＜6時，(圖4)
∵OD= t,∴AD= t-3．
易知四邊形ADNC是平行四邊形,∴CN=AD=t-3．BN=6-t．
由△BMN～△BAC，可得BM=BN=8-t，∴AM=-4+t．
S=矩形OABC的面積－Rt△OAM的面積－Rt△MBN的面積－Rt△NCO的面積
=12－ (－4+t) － ×(8－t)(6－t) － (t－3)
=－t²+4t．
當(dāng)0<t≤3時，
∵拋物線S= t²的開口向上，在對稱軸t =0的右邊，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t =3時，S可取到最大值×3²=6．
當(dāng)3＜t＜6時，
∵拋物線S="-" t²+4 t的開口向下，它的頂點(diǎn)是(3，6)，
∴S＜6.             綜上，當(dāng)t=3時，S有最大值6．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題型
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．