Question

（1）如圖1，在△ABC中，D、E是BC邊上的兩點，請你從下面三項中選出兩個作為條件，另一個作為結論，寫出真命題，并加以證明．
①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．
（2）如圖2，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
①求證：DE為⊙O的切線；
②若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知設①AB=AC，②AD=AE，則得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，所以得：∠ADB=∠AEC，即得△ABD≌△ACE，從而證得BD=CE；
（2）①（1）連接OD，根據OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根據DE⊥AC，即可證出OD⊥DE，從而得出答案；
②結合①中的結論，可以證明△BOD是等邊三角形，即可求得CD和BD的長，再根據銳角三角函數即可計算DE的長．
解答：（1）已知：AB=AC，AD=AE，
求證：BD=CE．
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
同理∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE；

（2）①證明：如圖2，連接OD．
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；

②解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠0DB．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等邊三角形．
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．
∵DE⊥AC，
∴DE=CD•sin∠C=5×sin60°=．
點評：（1）此題考查的知識點是全等三角形的判定與性質，關鍵是由已知證△ABD≌△ACE；
（2）本題考查了切線的判定與性質，用到的知識點是圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質以及等邊三角形的判定，是一道�？碱}型．