Question

15．已知二次方程x²-3x+1=0的兩根為α，β，求：α⁴+β⁴和α³-β³．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，寫出α+β和αβ的值，再把要求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成含有α+β和αβ的形式，求出代數(shù)式的值．

解答 解：∵二次方程x²-3x+1=0的兩根為α，β，
∴α+β=3，αβ=1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=3²-2×1=7，
（α-β）²=（α+β）²-4αβ=3²-4×1=5，
∴α-β=±$\sqrt{5}$．
α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=7²-2×1²=47．
α³-β³=（α-β）（α²+αβ+β²）=±$\sqrt{5}$（7+1）=±8$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．