Question

已知二次函數(shù)y=x²+2x+t與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x₁，0）、（x₂，0），且x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7，該二次函數(shù)與雙曲線y=

k

x

的交點(diǎn)為(1，d)．
（1）t與k的值；
（2）已知點(diǎn)P₁，P₂，…，P_n都在雙曲線y=

k

x

(x＞0)上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，2a，…，na，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記S₁=S△P1P2O，S₂=S△P1P3O，…，S_n=S△P1Pn+1O，求S_n．（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）將x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7變形得：x₁（x₁²+2x₁+t）-3（x₁+x₂）-t=7，又由x₁，x₂是方程x²+2x+t=0的兩根，即可得：x₁²+2x₁+t=0，x₁+x₂=-2，則解方程組，即可求得t的值，則可得k的值，問(wèn)題的解；
（2）由點(diǎn)P₁，P₂，P_n都在反比例函數(shù)y=

2

x

(x＞0)上，且橫坐標(biāo)分別為a，2a，na，則可求得點(diǎn)P₁，P₂，P_n的縱坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P₁作P₁A⊥x軸于點(diǎn)A，交OP_n+1于點(diǎn)C，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形的面積間的關(guān)系，即可求得S_n的值．

解答：解：（1）由x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7得：
∴x₁（x₁²+2x₁+t）-3（x₁+x₂）-t=7（﹡），
又∵x₁，x₂是方程x²+2x+t=0的兩根，
∴x₁²+2x₁+t=0，x₁+x₂=-2代入（﹡）式得：x₁0-3×（-2）-t=7，
∴t=-1，
∴y=x²+2x-1，將（1，d）代入得，d=2，
∴k=2，
∴y=

2

x

；

（2）∴點(diǎn)P₁，P₂，P_n都在反比例函數(shù)y=

2

x

(x＞0)上，且橫坐標(biāo)分別為a，2a，na，
∴點(diǎn)P₁，P₂，P_n的縱坐標(biāo)分別為

2

a

，

2

2a

，

2

na

．
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁A⊥x軸于點(diǎn)A，交OP_n+1于點(diǎn)C，
過(guò)點(diǎn)P_n+1作P_n+1B⊥y軸于點(diǎn)B，
易求lOPn+1：y=

2

(n+1)2a2

x，
∴C為（a，

2a

(n+1)2a2

），
∴P₁C=

2

a

-

2a

(n+1)2a2

=

2n(n+2)

(n+1)2a

，
∴S△P1Pn+1O=

1

2

×OB×P1C=

1

2

(n+1)a•

2n(n+2)

(n+1)2a

=

n2+2n

n+1

，
∴Sn=

n2+2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)的幾何意義等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．