Question

【題目】一個正整數(shù)m能寫成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均為正整數(shù)，且a≠b），則稱m為“完美數(shù)”，a、b為m的一個完美變形，在m的所有完美變形中，若a2+b2最大，則稱a、b為m的最佳完美變形，此時F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12為“完美數(shù)”，4和2為12的一個完美變形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因為92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美變形，所以F（32）＝130．

（1）8　 　（填“是”或“不是”）完美數(shù)；10　 　（填“是”或“不是”）完美數(shù)；13　 　（填“是”或“不是”）完美數(shù)；

（2）求F（48）；

（3）若一個兩位數(shù)n的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別為x，y（1≤x≤y≤9），n為“完美數(shù)”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）是，不是，是；（2）290；（3）F（n）的最小值為145

【解析】

（1）根據(jù)完美數(shù)的特征即可得到結論；

（2）設，根據(jù)把48寫成兩數(shù)的乘積，然后分類討論即可；

（3）由題可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．因為x+y能夠被8整除且1≤x＜y≤9，所以x+y＝8或x+y＝16，分兩種情況討論即可求解．

解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），

∴8是完美數(shù)；

∵10不能寫成兩個正整數(shù)和與差乘積的形式，

∴10不是完美數(shù)；

∵13＝（7﹣6）×（7+6），

∴13是完美數(shù)．

故答案為：是，不是，是；

（2）設

因為a+b，a﹣b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，所以48＝24×2 或 48＝12×4 或48＝8×6，

或或

解得：或或

∵132+112＞82+42＞72+12

∴F（48）＝132+112＝290

（3）由題可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．

∵x+y能夠被8整除且1≤x＜y≤9，

∴x+y＝8或x+y＝16

①當x+y＝8時，1≤x＜y≤9，∴x＝1或2或3，

即n＝17或26或35，而26不是“完美數(shù)”

或或，

解得：或或．

F（17）＝92+82＝145，

∵182+172＞62+12

∴F（35）＝182+172＝613

②當x+y＝16時，1≤x＜y≤9，∴x＝7，

∴n＝79

∴，

解得，

∴F（79）＝402+392＝3121，

∴F（n）的最小值為145．