Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證明AE=DF；
（2）首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件求為鄰邊相等即AE=AD，即可求出相應(yīng)的t值．

解答：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；

（2）解：能，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∵AB=BC•tan30°=5

3

×

3

3

=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD為菱形，則需AE=AD，
即t=10-2t，t=

10

3

．
即當(dāng)t=

10

3

時(shí)，四邊形AEFD為菱形．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)和菱形的判定定理，以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，難度適宜．