Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2厘米/秒的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）求線段CD的長(zhǎng)。
（2）t為何值時(shí)，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分？
（3）伴隨P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為l．
①t為何值時(shí)，l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C？
②求當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)t的值，并求出此時(shí)刻線段PQ的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作DE⊥BC于E，

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

∴CD==5厘米；

（2）

解：∵點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于點(diǎn)H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴=，

∴=，

∴QH=t，

∴==(5-t)=-，

S四邊形ABCD=(AD+BC)AB=(1+5)×3=9，

分兩種情況討論：

①當(dāng)S△PQC：S四邊形ABCD=1：3時(shí)，-，

即t2﹣5t+5=0，

解得：t1=,t2=（舍去）；

②S△PQC：S四邊形ABCD=2：3時(shí)，-，

即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程無(wú)解，

∴當(dāng)t為秒時(shí)，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分；

（3）

解：如圖2，

①當(dāng)PQ的垂直平分線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，可知PC=QC，

∴5﹣t=2t，

∴3t=5，

∴t=，

∴當(dāng)t=秒時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

②如圖3，

當(dāng)PQ的垂直平分線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，

可知DQ=DP，

連接DP，則在Rt△DEP中，DP2=DE2+EP2，

∴DQ2=DE2+EP2，

∴（5﹣2t）2=32+（t﹣1）2，

∴t1=1，t2=5（舍去），

∴BP=1厘米，

∴當(dāng)t=1秒時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

如圖4，連接FQ，

∵直線l是△DPQ的對(duì)稱(chēng)軸，

∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，

設(shè)EF=x厘米，則QF=x厘米，F(xiàn)C=（4﹣x）厘米，

在Rt△FQC中，F(xiàn)Q2+QC2=FC2，

x2+22=（4﹣x）2，

∴x=，

∴EF=厘米，

在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2，

∴32+()2=DF2，

∴DF=厘米，

在Rt△DEF中，EG⊥DF，

∴==，

∴EG=，

∴EG=厘米，

∴PQ=2EG=厘米．

【解析】（1）作DE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分，分兩種情況進(jìn)行求解；
（3）①當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C進(jìn)行分析解答；
②當(dāng)PQ的垂直平分線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)進(jìn)行分析解答．
此題考查了梯形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，用到了勾股定理，垂直平分線定理等，注意分情況討論。