Question

【題目】設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，則下列結(jié)論：①若a@b＝0，則a＝0或b＝0；②a@（b+c）＝a@b+a@c；③不存在實(shí)數(shù)a，b，滿足a@b＝a2+5b2；④設(shè)a，b是矩形的長(zhǎng)和寬，若矩形的周長(zhǎng)固定，則當(dāng)a＝b時(shí)，a@b最大．其中正確的是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

根據(jù)新定義可以計(jì)算出各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，從而可以判斷各個(gè)小題中的說法是否正確，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．

解：①根據(jù)題意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，

整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，

解得：a＝0或b＝0，正確；

②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac

a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，

∴a@（b+c）＝a@b+a@c，正確；

③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，

令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，

顯然：當(dāng)時(shí)，上式成立，

故③錯(cuò)誤；

④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，

a，b是矩形的長(zhǎng)和寬，若矩形的周長(zhǎng)固定，

則周長(zhǎng)為：

有最大值，

當(dāng)時(shí)， 有最大值，

此時(shí)：

即：a＝b，

∴a@b最大時(shí)，a＝b，故④正確．

故答案為：①②④．