Question

【題目】綜合與實(shí)踐 在中，，點(diǎn)為斜邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)．

（1）操作發(fā)現(xiàn)： 如圖①，當(dāng)時(shí)，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

①的度數(shù)為________；

②當(dāng)________時(shí)，四邊形為正方形；

（2）探究證明： 如圖②，當(dāng)時(shí)，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后并延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍， 記為線段，連接．

①在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并證明；

②當(dāng)時(shí)，求證：四邊形為矩形．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）①；證明見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ABC=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACD=∠BCE，CD=CE，證明△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)果；

②由四邊形為正方形，得BE=CD，∠CDB=90°，因?yàn)?/span>AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠ABC=45°，解直角三角形可得CD的長(zhǎng)，從而得到BE的長(zhǎng)；

（2）①證明△ACD∽△BCE，即可得出；

②由垂直的定義得出，由得∠DBE=90°，因?yàn)?/span>，所以得到四邊形CDBE為矩形.

解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠A=∠ABC=45°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACD=∠BCE，CD=CE

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴∠CBE=45°

②當(dāng)BE=時(shí)，四邊形為正方形.理由如下：

∵四邊形為正方形

∴BE=CD，∠CDB=90°

∴CD⊥AB

∵AC=BC=8

∴△ABC是等腰三角形

∴∠A=∠ABC=45°

∴CD=ACsin45°=8×=4

∴BE=4

即當(dāng)BE=時(shí)，四邊形為正方形.

（2）①

證明：如圖，

又

②證明：由（2）①得

又

四邊形是矩形