Question

19．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．

Answer 1

分析 由題意可設AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分別從①當$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$時，△APQ∽△ABD；與②當$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$時，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．

解答 解：設AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6-t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①當 $\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$時，△APQ∽△ABD，
∴$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，
解得：t=3；
②當 $\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$時，△APQ∽△ADB，
∴$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2．
∴當t=3或1.2時，△APQ與△ABD相似．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度較大，解題的關鍵是注意分類討論思想、方程思想與數形結合思想的應用．