Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點(diǎn)O與邊AB的中點(diǎn)重合，OD交BC于點(diǎn)F，OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且∠DOE=∠B．

（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長(zhǎng)；

（2）將扇形紙片DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE與邊AC分別交于點(diǎn)M，N（如圖2），當(dāng)CM的長(zhǎng)是多少時(shí)，△OMN與△BCO相似？

Answer 1

1)證明見(jiàn)解析. ．（2）當(dāng)CM的長(zhǎng)是或時(shí)，△OMN與△BCO相似．

【解析】

試題分析：（1）易證∠OCB=∠B，由條件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，從而得到△COF是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，由等腰三角形的三線合一可求出CH，易證△CHF∽△BCA，從而可求出CF長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，

（2）①若△OMN∽△BCO，如圖2，

則有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM=．

∴CM=AC-AM=．

②若△OMN∽△BOC，如圖3，

則有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON=，CN=．

∵GN=，BC=6，AB=10，

∴MN=．

∴CM=CN-MN=-=．

∴當(dāng)CM的長(zhǎng)是或時(shí)，△OMN與△BCO相似．

【考點(diǎn)】1.圓的綜合題；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.直角三角形斜邊上的中線；4.勾股定理；5.相似三角形的判定與性質(zhì)．