【題目】如圖,直線分別與x軸、y軸交于兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)C(4,2).
(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為( , ),B為( , );
(2)在線段上有一點(diǎn)E,過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時(shí),四邊形是平行四邊形;
(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q,使得四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形.若存在,求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(8,0);(0,4).(2)故當(dāng)時(shí),四邊形是平行四邊形;(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為、、或.
【解析】
(1)由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線l1的解析式,再分別令直線的解析式中求出對(duì)應(yīng)的y、x值,即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式,結(jié)合點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo),再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;
(3)分為邊和為對(duì)角線兩種情況討論.當(dāng)為邊時(shí),根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)P的坐標(biāo),結(jié)合A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo);當(dāng)為對(duì)角線時(shí),根據(jù)三角形相似找出點(diǎn)P的坐標(biāo),再根據(jù)菱形對(duì)角線互相平分即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo).綜上即可得出結(jié)論.
解:(1)將點(diǎn)C(4,2)代入中,
得:,解得:,
∴直線為.
令中,則,
∴B(0,4);
令中,則,
∴A(8,0).
(2)∵點(diǎn)C(4,2)是直線上的點(diǎn),
∴,解得:,
∴直線為.
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,
∴,
∴.
∵四邊形是平行四邊形,
∴,即,
解得:.
故當(dāng)時(shí),四邊形是平行四邊形.
(3)假設(shè)存在.
以為頂點(diǎn)的菱形分兩種情況:
①以為邊,如圖1所示.
∵點(diǎn)A(8,0),B(0,4),
∴.
∵以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,
∴或.
當(dāng)時(shí),或;
當(dāng)時(shí),點(diǎn)P(﹣8,0).
當(dāng)時(shí),,即;
當(dāng)P()時(shí),,即;
當(dāng)時(shí),,即.
②以為對(duì)角線,對(duì)角線的交點(diǎn)為M,如圖2所示.
∵點(diǎn),
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴點(diǎn),即(3,0).
∵以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,
∴點(diǎn),即(5,4).
綜上可知:若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),則在平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)Q,使得四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為、、或.
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(1)打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元?
(2)陽光敬老院需購(gòu)買甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,問打折后購(gòu)買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢?
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