Question

【題目】已知：是的直徑，的延長線上有一點(diǎn)，是的切線，切點(diǎn)為，過點(diǎn)作，垂足為，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，是上的點(diǎn)，連接、，若，

求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接和相交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，連接、，若，，，，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接，由是的切線，可知，，然后通過直角三角形銳角互余和同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的二倍即可得到答案；

（2）連接，過點(diǎn)作，垂足為，可知，，設(shè)，，得到，然后通過角度關(guān)系得到，從而可證，通過對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)，通過條件推導(dǎo)出，延長到點(diǎn)，使，連接，通過和角度關(guān)系可得到，設(shè)，則，利用勾股定理求出，最后證出為等腰直角三角形，即得到．

（1）證明：如圖1，連接，

∵是的切線，

∴，

∴

∵，

∴

∵，

∴

∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角

∴

∴

（2）證明：如圖2，連接，過點(diǎn)作，垂足為，

∴，

∵是的直徑，

∴

設(shè)，

∵

∴，即

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴

（3）解：如圖3，設(shè)，

∵，

∴

∵，

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵，

∴

延長到點(diǎn)，使，連接，

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴，

∴

設(shè)，則

在中，

在中，

∴

∴

在中，

連接，∵，

∴，

∴，

∴

∴為等腰直角三角形

∴