Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=40°.

⑴求∠NMB的大小；

⑵若將圖中的∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，則∠NMB= ；

⑶你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律？若將∠A改為鈍角，對這個(gè)問題規(guī)律性的認(rèn)識是否需要加以修改？

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）35°；（3）規(guī)律為：在等腰△ABC中，當(dāng)AB=AC，∠A是銳角時(shí)，∠NMB的度數(shù)恰好為頂角∠A度數(shù)的一半；當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，上述規(guī)律依然成立，不需要修改.

【解析】

（1）在等腰三角形ABC中可求出∠B，然后在△BMN中根據(jù)內(nèi)角和求解;

（2）解法同（1）；

（3）依照（1）（2）的解法，找出∠NMB與∠A的關(guān)系，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，作出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明.

解：（1）∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°

（2）當(dāng)∠A=70°時(shí)，如下圖所示，

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°

（3）如圖，規(guī)律為：在等腰△ABC中，當(dāng)AB=AC，∠A是銳角時(shí)，∠NMB的度數(shù)恰好為頂角∠A度數(shù)的一半，即∠NMB=∠A.

證明： ∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴

即∠NMB的大小等于頂角∠A的一半.

當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，上述規(guī)律依然成立，故不需要修改. 完整地?cái)⑹錾鲜鲆?guī)律為：等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交，所成的銳角等于頂角的一半.

證明：如圖，

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴