【題目】數(shù)學課上學習了圓周角的概念和性質(zhì):“頂點在圓上,兩邊與圓相交”,“同弧所對的圓周角相等”,小明在課后繼續(xù)對圓外角和圓內(nèi)角進行了探究.
下面是他的探究過程,請補充完整:
定義概念:頂點在圓外,兩邊與圓相交的角叫做圓外角,頂點在圓內(nèi),兩邊與圓相交的角叫做圓內(nèi)角.如圖1,∠M為所對的一個圓外角.
(1)請在圖2中畫出所對的一個圓內(nèi)角;
提出猜想
(2)通過多次畫圖、測量,獲得了兩個猜想:一條弧所對的圓外角______這條弧所對的圓周角;一條弧所對的圓內(nèi)角______這條弧所對的圓周角;(填“大于”、“等于”或“小于”)
推理證明:
(3)利用圖1或圖2,在以上兩個猜想中任選一個進行證明;
問題解決
經(jīng)過證明后,上述兩個猜想都是正確的,繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn),還可以解決下面的問題.
(4)如圖3,F,H是∠CDE的邊DC上兩點,在邊DE上找一點P使得∠FPH最大.請簡述如何確定點P的位置.(寫出思路即可,不要求寫出作法和畫圖)
【答案】(1)見解析(2)小于;大于(3)見解析(4)見解析
【解析】
(1)在⊙O內(nèi)任取一點M,連接AM,BM;
(2)觀察圖形,可知:一條弧所對的圓外角小于這條弧所對的圓周角;一條弧所對的圓內(nèi)角大于這條弧所對的圓周角,此問得解;
(3)(i)BM與⊙O相交于點C,連接AC,利用三角形外角的性質(zhì)可得出∠ACB=∠M+∠MAC,進而可證出∠ACB>∠M;(ii)延長BM交⊙O于點C,連接AC,利用三角形外角的性質(zhì)可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM,進而可證出∠AMB>∠ACB;
(4)由(2)的結(jié)論,可知:當過點F,H的圓與DE相切時,切點即為所求的點P.
(1)如圖2所示.
(2)觀察圖形,可知:一條弧所對的圓外角小于這條弧所對的圓周角;一條弧所對的圓內(nèi)角大于這條弧所對的圓周角.
故答案為:小于;大于.
(3)證明:(i)如圖1,BM與⊙O相交于點C,連接AC.
∵∠ACB=∠M+∠MAC,
∴∠ACB>∠M;
(ii)如圖4,延長BM交⊙O于點C,連接AC.
∵∠AMB=∠ACB+∠CAM,
∴∠AMB>∠ACB.
(4)如圖3,當過點F,H的圓與DE相切時,切點即為所求的點P.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:拋物線y=mx2+(m﹣2)x﹣2m+2(m≠0).
(1)求證:拋物線與x軸有交點;
(2)若拋物線與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0),點A在點B的右側(cè),且x1+2x2=1.
①求m的值;
②點P在拋物線上,點G(n,﹣n﹣),求PG的最小值.
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【題目】某電商銷售一款夏季時裝,進價40元/件,售價110元/件,每天銷售20件,每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元(a>0)。未來30天,這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動,即從第1天起每天的單價均比前一天降1元。通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),該時裝單價每降1元,每天銷量增加4件。在這30天內(nèi),要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù)t(t為正整數(shù))的增大而增大,a的取值范圍應為_____________。
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【題目】如圖,△AOB的三個頂點都在網(wǎng)格的格點上,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為一個長度單位, 以點O建立平面直角坐標系,若△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后,得到△A1OB1(A和A1是對應點)
(1)畫出△A1OB1;
(2)寫出點A1,B1的坐標;
(3)求旋轉(zhuǎn)過程中邊OB掃過的面積(結(jié)果保留π).
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【題目】在同一平面直角坐標系中,反比例函數(shù)y(b≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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【題目】某花卉種植基地準備圍建一個面積為100平方米的矩形苗圃園種植玫瑰花,其中一邊靠墻,另外三邊用29米長的籬笆圍成.已知墻長為18米,為方便進入,在墻的對面留出1米寬的門(如圖所示),求這個苗圃園垂直于墻的一邊長為多少米?
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【題目】已知二次函數(shù)與反比例函數(shù)()的圖象都經(jīng)過點A(1,m).
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)當二次函數(shù)與反比例函數(shù)的值都隨x的增大而減小時,求x的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點A、B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B.點P是x軸上一個動點,過點P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點E和點F.設點P的橫坐標為m.
(1)點A的坐標為 .
(2)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式.
(3)點P在線段OA上時,若以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外),稱E、F、P三點為“共諧點”.直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標分別為A(-2,2),B(-4,0),C(-4;-4),
(1)在y軸右側(cè),以O為位似中心,畫出△A'B'C′,使它與△ABC的相似比為1:2;
(2)根據(jù)(1)的作圖,sin∠A'C'B′=__________.
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