Question

已知M是弧CAB的中點(diǎn)，MP垂直弦AB于P，若弦AC的長度為x，線段AP的長度是x+1，那么線段PB的長度是

1. A.
   2x+1
2. B.
   2x+2
3. C.
   2x+3
4. D.
   3x+1

Answer 1

A
分析：延長MP，交⊙O于點(diǎn)D，延長DC，交BA的延長線于點(diǎn)G，連接BD．首先由于M是弧CAB的中點(diǎn)，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，得出∠GDP=∠BDP．再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得出PB=GP，∠B=∠G．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角，得出∠ACG=∠B，進(jìn)而證出AG=AC，從而得出BP=AP+AC．
解答：解：延長MP，交⊙O于點(diǎn)D，延長DC，交BA的延長線于點(diǎn)G，連接BD．
∵M(jìn)是弧CAB的中點(diǎn)，
∴∠GDP=∠BDP．
∵DP⊥BG，
∴△BDG是等腰三角形，
∴PB=GP，∠B=∠G．
∵ABDC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACG=∠B，
∴∠ACG=∠G，
∴AG=AC，
∴BP=AP+AG=AP+AC，
∵AC=x，AP=x+1，
∴BP=2x+1．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等，關(guān)鍵是輔助線的作法．