(11·兵團(tuán)維吾爾)(10分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠
B=45°.動點P從點B出發(fā)沿BC向點C運(yùn)動,動點Q同時以相同速度從點C出發(fā)沿CD
向點D運(yùn)動,其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動點也隨之停止運(yùn)動.
(1)求AB的長;
(2)設(shè)BP=x,問當(dāng)x為何值時△PCQ的面積最大,并求出最大值;
(3)探究:在AB邊上是否存在點M,使得四邊形PCQM為菱形?請說明理由.
解:(1)作AE⊥BC,

∵等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,
∴BE=(BC-AD)÷2=2.5,
∵∠B=45°,

(2)作QF⊥BC,
∵等腰梯形ABCD,
∴∠B=∠C=45°,
∵點P和點Q的運(yùn)動速度、運(yùn)動時間相同,BP=x,
∴BP=CQ=x,
∵BC=9,

(3)假設(shè)AB上存在點M,使得四邊形PCQM為菱形,

∵等腰梯形ABCD,∠B=∠C=45°,
∴CQ=CP=BP=MP,∠B=∠C=∠MPB=45°,
∴∠BMP=45°,
∵∠B=∠MPB=∠BMP=45°,不符合三角形內(nèi)角和定理,
∴假設(shè)不存在,
∴邊AB上不存在點M,使得四邊形PCQM為菱形.
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