Question

若AC=AD，∠CAD=60°，AB與CD相交于點F，AF=

8

5

，CD=

3

，延長DB至點P使BP=BC，那么△AFC與△DCP是否相似？若相似，寫出證明過程，并求PD的值；若不相似，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：證明△ACD是等邊三角形，得到∠PBC=∠CAD=60°；進而證明△PBC為等邊三角形，得到∠P=60°；結(jié)合∠CAF=∠PDC，問題即可解決．

解答：解：△AFC∽△DCP；理由如下：
∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=∠CAD=60°；AC=DC=

3

；
∴∠PBC=∠CAD=60°，而∠BP=BC，
∴△PBC為等邊三角形，∠P=60°；
∵∠ACF=60°，∠CAF=∠PDC，
∴△AFC∽△DCP．
在△ABC與△DPC中，
∵

∠ABC=∠P BC=BP ∠ACB=∠DCP

，
∴△ABC與△DPC（ASA），
PD=AB；
由圓及等邊三角形的對稱性知：
AF平分CD，
∴AB⊥CD；而AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
由射影定理得：AC²=AF•AB，
∴AB=

( 3 )2

8 5

=

15

8

，
∴PD=AB=

15

8

．

點評：該題主要考查了等邊三角形的判定、圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)等重要幾何知識點的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察探究、大膽猜測推理、科學(xué)解答論證．