Question

1．已知平行四邊形ABCD，DC=kBC，∠A=60°，E為AB的中點(diǎn)，∠PEQ=120°，EP交AD于點(diǎn)P，EQ交∠BCD的外角平分線于點(diǎn)Q．
（1）如圖一，當(dāng)k=1時(shí)，求證：QE=3PE；
（2）如圖二，當(dāng)k=2時(shí)，寫出PE與QE的數(shù)量關(guān)系EQ=2PE；
（3）如圖三，在（1）的條件下，當(dāng)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，連接DE和PQ，交點(diǎn)為G，連接GC，BD交點(diǎn)為M，若AB=4，求CM的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EG⊥AD于G，EN⊥CQ于N，延長CQ、AB交于點(diǎn)M，先證明△EAG∽△EMN得$\frac{AE}{EM}$=$\frac{EG}{EN}$=$\frac{1}{3}$，再證明△EPG∽△ENQ，得$\frac{PE}{EQ}$=$\frac{EG}{EN}$=$\frac{1}{3}$即可證明．
（2）結(jié)論：EQ=2EP．如圖2中，連接EC，作EG⊥AD于G，證明方法類似（1）．
（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P是線段AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在AB的延長線上，由BN∥PE，得到$\frac{BN}{PE}$=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{2}{3}$，設(shè)PE=a，則DB=2a，BN=$\frac{2}{3}$a，DN=$\frac{4}{3}$a，求出GN與NQ的比值即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，作EG⊥AD于G，EN⊥CQ于N，延長CQ、AB交于點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，DC=BC，∠A=60°，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABD，△BDC都是等邊三角形，
∵CM是∠DCB的外角平分線，
∴∠BCM=∠CBM=60°，
∴△BCM是等邊三角形，
∵AE=EB，AB=BC=BM，
∴EM=3AE，
∵∠AGE=∠ENM=90°，∠A=∠M=60°，
∴△EAG∽△EMN，
∴$\frac{AE}{EM}$=$\frac{EG}{EN}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠AEG=∠MEN=30°，
∴∠GEN=∠PEQ=120°，
∴∠PEG=∠QEN，
∵∠EGP=∠EQN=90°，
∴△EPG∽△ENQ，
∴$\frac{PE}{EQ}$=$\frac{EG}{EN}$=$\frac{1}{3}$，
∴EN=3PE．
（2）結(jié)論：EQ=2EP．
理由：如圖2中，連接EC，作EG⊥AD于G，
∵AB=CD=2BC，△BCM是等邊三角形，AE=EB，
∴BC=BM=EB，
∴∠ECB=90°，
∵∠AGE=∠ECM=90°，∠A=∠M=60°，
∴△EAG∽△EMC，
∴$\frac{AE}{EM}$=$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠AEG=∠MEC=30°，
∴∠GEC=∠PEQ=120°，
∴∠PEG=∠QEC，
∵∠EGP=∠ECQ=90°，
∴△EPG∽△EQC，
∴$\frac{PE}{EQ}$=$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴EQ=2EP．
（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P是線段AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在AB的延長線上，
∵AP=PD，AE=EB，
∴PE∥DB．DE=$\frac{1}{2}$DE，
∵BN∥PE，
∴$\frac{BN}{PE}$=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{2}{3}$，設(shè)PE=a，則DB=2a，BN=$\frac{2}{3}$a，DN=$\frac{4}{3}$a，
∴$\frac{PE}{DN}$=$\frac{PG}{GN}$=$\frac{EG}{DG}$=$\frac{3}{4}$，∵$\frac{PN}{NC}$=$\frac{EB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{GN}{NC}$=$\frac{GM}{CM}$=$\frac{2}{7}$，
∴MC=$\frac{7}{9}$CG，
∵DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴DG=$\frac{4}{7}$DE=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，
在RT△DCG中，CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{7}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4}{7}$$\sqrt{61}$，
∴CM=$\frac{4\sqrt{61}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造相似三角形，利用平行線分線段成比例定理是解決第三個(gè)問題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．