Question

【題目】已知，直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，過(guò)軸上一點(diǎn)作垂直于交于點(diǎn)，如圖.

（1）若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別于、，求線段長(zhǎng)度的最小值.

（2）在（1）的取得最小值的前提下，將沿射線平移，記平移后的三角形為，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）最小值為4.8；（2）這樣的點(diǎn)有3個(gè)，；；.

【解析】

（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線0A的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m)(),則PE=m，PF=8-m，利用勾股定理可找出EF2關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出EF2的最小值，進(jìn)而可得出段EF長(zhǎng)度的最小值；

（2）由(1)的結(jié)論結(jié)合平移的性質(zhì)，可得出平移后點(diǎn)、、的坐標(biāo).

解：（1）當(dāng)x=4時(shí)，

∴

設(shè)直線OA的解析式為

將代入得k=

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m)() 則PE=m，PF=8-m

∴FE2=PF2+PE2即FE2=（m）2+（8-m）2=（m-）2+

∴當(dāng)m=時(shí)，EF2取得最小值，此時(shí)EF最小值為

∴最小值為4.8.

（2）這樣的點(diǎn)有3個(gè).

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