Question

已知：y關于x的函數(shù)y=（k﹣1）x²﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足（k﹣1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；
②當k≦x≦k+2時，請結合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值．

Answer 1

（1）當k=1時，函數(shù)為一次函數(shù)y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個交點．
當k≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個或兩個交點，
令y=0得（k﹣1）x²﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≧0，解得k≦2．即k≦2且k=1．
綜上所述，k的取值范圍是k≦2．
（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k=1．
由題意得（k﹣1）x₁²+（k+2）=2kx₁．（*）
將（*）代入（k﹣1）x₁²+2kx²+k+2=4x₁x²中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．
又∵x₁+x₂=，x₁x₂=，∴2k=4．
解得：k1=﹣1，k2=2（不合題意，舍去）．∴所求k值為﹣1．
②如圖，∵k₁=﹣1，y=﹣2x²+2x+1=﹣2（x﹣）²+．且﹣1≦x≦1．
由圖象知：當x=﹣1時，y最小=﹣3；當x=時，y最大=．
∴y的最大值為，最小值為﹣3