Question

（2012•常州）平面上有兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠BOD=150°（如圖），現(xiàn)按如下要求規(guī)定此平面上點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”：
（1）點(diǎn)O的“距離坐標(biāo)”為（0，0）；
（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（0，q）；
（3）到直線AB、CD的距離分別為p，q（p＞0，q＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p，q）．
設(shè)M為此平面上的點(diǎn)，其“距離坐標(biāo)”為（m，n），根據(jù)上述對(duì)點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”的規(guī)定，解決下列問題：
（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：
①滿足m=1，且n=0的點(diǎn)M的集合；
②滿足m=n的點(diǎn)M的集合；
（2）若點(diǎn)M在過點(diǎn)O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關(guān)系式．（說明：圖中OI長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)）

Answer 1

分析：（1）①以O(shè)為圓心，以2為半徑作圓，交CD于兩點(diǎn)，則此兩點(diǎn)為所求；②分別作∠BOC和∠BOD的角平分線并且反向延長(zhǎng)，即可求出答案；
（2）過M作MN⊥AB于N，根據(jù)已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)得出sin60°=

MN

OM

=

m

n

，求出即可．

解答：解：（1）①如圖所示：

點(diǎn)M₁和M₂為所求；

②如圖所示：

直線MN和直線EF為所求；


（2）如圖：

過M作MN⊥AB于N，
∵M(jìn)的“距離坐標(biāo)”為（m，n），
∴OM=n，MN=m，
∵∠BOD=150°，直線l⊥CD，
∴∠MON=150°-90°=60°，
在Rt△MON中，sin60°=

MN

OM

=

m

n

，
即m與n所滿足的關(guān)系式是：m=

3

2

n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)值，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．