Question

如圖，點(diǎn)C在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，D為⊙O上一點(diǎn)，E是

BD

的中點(diǎn)，連接AD、CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)F，且AF⊥CF．
（1）求證：CF與⊙O相切；
（2）若EF=6，CE=10，求⊙O的直徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明CF與⊙O相切；可以證明OE⊥CF．
（2）連接OE，則△COE∽△CAF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等以及在直角△CAF中，根據(jù)勾股定理可以得到關(guān)于半徑與BC長(zhǎng)的方程組，就可以求出．

解答：（1）證明：連接OE、OD；
∵E是

BD

的中點(diǎn)，
∴∠BOE=∠DOE=

1

2

∠BOD；
∵∠A=

1

2

∠BOD，
∴∠EOB=∠A；
∴OE∥AF；
∵AF⊥CF，
∴CF與⊙O相切；
（2）解：設(shè)半徑為R，CB=x，則：

x+R R = 10 6 (x+R)2=R2+102

，
∴2R=15；
∴⊙O的直徑的長(zhǎng)為15．

點(diǎn)評(píng)：證明切線可以證明直線經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑．