Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；

（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H．
①若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若⊙M的半徑為 ，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），

將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），

解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣2），

即y=x2﹣x﹣2

（2）

解：設(shè)OP=x，則PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，

解得，x= ，

即OP=

（3）

解：①∵△CHM∽△AOC，

∴∠MCH=∠CAO，

（i）如圖1，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)，

∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC

∴∠OCA+∠MCH=90°

∴∠OCM=90°=∠AOC

∴CM∥x軸

∴yM=﹣2，

∴x2﹣x﹣2=﹣2，

解得x1=0（舍去），x2=1，

∴M（1，﹣2），

（ii）如圖1，當(dāng)H在點(diǎn)C上方時(shí)，

∵∠MCH=∠CAO，

∴PA=PC，由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點(diǎn)，

設(shè)直線CM′的解析式為y=kx﹣2，

把P（ ，0）的坐標(biāo)代入，得 k﹣2=0，

解得k= ，

∴y= x﹣2，

由 x﹣2=x2﹣x﹣2，

解得x1=0（舍去），x2= ，

此時(shí)y= × ﹣2= ，

∴M′（ ， ），

②在x軸上取一點(diǎn)D，如圖（備用圖），過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE= ，

在Rt△AOC中，AC= = = ，

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，

∴ ，

即 = ，

解得AD=2，

∴D（1，0）或D（﹣3，0）．

過點(diǎn)D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖（備用圖）

則直線DM的解析式為：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，

當(dāng)﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2時(shí)，即x2+x+4=0，方程無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)﹣2x+2=x2﹣x﹣2時(shí)，即x2+x﹣4=0，解得x1= ，x2= ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，3+ ）或（ ，3﹣ ） ．

【解析】（1）根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣2），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí)，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，是﹣2，代入拋物線解析式計(jì)算即可；（ii）點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論，點(diǎn)M為直線PC與拋物線的另一交點(diǎn)，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②在x軸上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，可以證明△AED和△AOC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．