A
分析：可依據平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法進行解答．
解答：A、根據四邊形的一組平行邊，可證得相等的一組對角都與它們的鄰角互補，由此可證得另一組對邊平行；兩組對邊都平行的四邊形是平行四邊形，故A正確；
B、兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故B錯誤；
C、一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形（可證這條對角線分平行四邊形所得的兩個三角形是全等的等腰三角形，以此得到平行四邊形的四邊相等，從而證得四邊形是菱形），故C錯誤；
D、四條邊相等，對角線相等且互相垂直平分的四邊形是菱形，故D錯誤；
故選A．
點評：此題的A、C選項無法直接判斷出對錯，需要根據所學的知識進行進一步的驗證，只有熟練掌握各特殊四邊形的聯(lián)系和區(qū)別，才能準確的作出判斷．
