Question

【題目】閱讀下面材料：隨著人們認(rèn)識(shí)的不斷深入，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派逐漸承認(rèn)不是有理數(shù)，并給出了證明．假設(shè)是有理數(shù)，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p，q，使得，于是，兩邊平方得p2=2q2 ． 因?yàn)?/span>2q2是偶數(shù)，所以p2是偶數(shù)，而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)．因此可設(shè)p=2s，代入上式，得4s2=2q2 ， 即q2=2s2 ， 所以q也是偶數(shù)，這樣，p和q都是偶數(shù)，不互質(zhì)，這與假設(shè)p，q互質(zhì)矛盾，這個(gè)矛盾說明， 不能寫成分?jǐn)?shù)的形式，即不是有理數(shù)．請(qǐng)你有類似的方法，證明不是有理數(shù)．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：根據(jù)題意利用反證法假設(shè)是有理數(shù)，進(jìn)而利用假設(shè)得出矛盾，從而得出假設(shè)不成立原命題正確．

試題解析：假設(shè) 是有理數(shù)， 則存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得 = ，

于是有2m3=n3 ，

∵n3是2的倍數(shù)，

∴n是2的倍數(shù)，

設(shè)n=2t（t是正整數(shù)），則n3=8t3 ， 即8t3=2m3 ，

∴4t3=m3 ，

∴m也是2的倍數(shù)，

∴m，n都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾，

∴假設(shè)錯(cuò)誤，

∴不是有理數(shù).