Question

【題目】已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．

（1）當點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）
（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當∠OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AE⊥PB，CF⊥BP，

∴∠AEO=∠CFO=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF．

（2）

解：圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE．

圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE．

選圖2中的結(jié)論證明如下：

延長EO交CF于點G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠GCO，

在△EOA和△GOC中，

，

∴△EOA≌△GOC，

∴EO=GO，AE=CG，

在RT△EFG中，∵EO=OG，

∴OE=OF=GO，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等邊三角形，

∴OF=GF，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG+CG，

∴CF=OE+AE．

選圖3的結(jié)論證明如下：

延長EO交FC的延長線于點G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠AEO=∠G，

在△AOE和△COG中，

，

∴△AOE≌△COG，

∴OE=OG，AE=CG，

在RT△EFG中，∵OE=OG，

∴OE=OF=OG，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等邊三角形，

∴OF=FG，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG﹣CG，

∴CF=OE﹣AE．

【解析】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．
圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達式是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．