Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O內(nèi)接正三角形，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，DE分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，DF交AC于點(diǎn)Q，則有以下結(jié)論：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周長(zhǎng)等于AC的長(zhǎng)；④NQ=QC．其中正確的結(jié)論是�、佗冖邸。�（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：連結(jié)OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如圖， ∵△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，
∴∠AOD=∠COF=30°，
∴∠ACD= ∠AOD=15°，∠FDC= ∠COF=15°，
∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°，所以①正確；
同理可得∠AMN=30°，
∵△DEF為等邊三角形，
∴DE=DF，
∴弧DE=弧DF，
∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF，
而弧AD=弧CF，
∴弧AE=弧DC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴ND=NA，
在△DNQ和△ANM中
，
∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正確；
∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，
∴QD=QC，
而ND=NA，
∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，
即△DNQ的周長(zhǎng)等于AC的長(zhǎng)，所以③正確；
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠NDQ=60°，
而∠DQN=30°，
∴∠DNQ=90°，
∴QD＞NQ，
∵QD=QC，
∴QC＞NQ，所以④錯(cuò)誤．
所以答案是①②③．