Question

（2013•黑龍江）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB₁為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊三角形AB₁C₁，再以等邊三角形AB₁C₁的B₁C₁邊上的高AB₂為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊三角形AB₂C₂，再以等邊三角形AB₂C₂的邊B₂C₂邊上的高AB₃為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊AB₃C₃；…，如此下去，這樣得到的第n個(gè)等邊三角形AB_nC_n的面積為

3

（

3

4

）ⁿ

．

Answer 1

分析：由AB₁為邊長(zhǎng)為2等邊三角形ABC的高，利用三線(xiàn)合一得到B₁為BC的中點(diǎn)，求出BB₁的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB₁的長(zhǎng)，進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB₁C₁的面積，同理求出第二個(gè)等邊三角形AB₂C₂的面積，依此類(lèi)推，得到第n個(gè)等邊三角形AB_nC_n的面積．

解答：解：∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根據(jù)勾股定理得：AB₁=

3

，
∴第一個(gè)等邊三角形AB₁C₁的面積為

3

4

×（

3

）²=

3

（

3

4

）¹；
∵等邊三角形AB₁C₁的邊長(zhǎng)為

3

，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B2=

3

2

，AB₁=

3

，
根據(jù)勾股定理得：AB₂=

3

2

，
∴第二個(gè)等邊三角形AB₂C₂的面積為

3

4

×（

3

2

）²=

3

（

3

4

）²；
依此類(lèi)推，第n個(gè)等邊三角形AB_nC_n的面積為

3

（

3

4

）ⁿ．
故答案為：

3

（

3

4

）ⁿ

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，屬于規(guī)律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．