Question

14．如圖，△ABC和△AMN均為等邊三角形，將△AMN繞點A旋轉(zhuǎn)（△AMN在直線AC的右側(cè)）．
（1）求證：△BAM≌△CAN；
（2）若點C，M，N在同一條直線上，
①求∠BMC的度數(shù)；
③點M是CN的中點，求證：BM⊥AC．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，再證出∠BAM=∠CAN，由SAS即可證明△ABM≌△ACN．
（2）①由等邊三角形的性質(zhì)得出∠AMN=∠NAM=∠AMN=60°，由全等三角形的性質(zhì)得出∠AMB=∠MNA=60°，再由平角定義即可得出結(jié)果；
②由等邊三角形的性質(zhì)證出MB是AC的垂直平分線，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC和△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAM=∠CAN}&{\;}\\{AM=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN；
（2）①解：∵△AMN為等邊三角形，
∴∠AMN=∠NAM=∠AMN=60°，
∵△BAM≌△CAN，
∴∠AMB=∠MNA=60°，
∴∠BMC=180°-∠AMN-∠AMB=60°；
②證明：∵點M是CN的中點，
∴MN=CM，
∵△AMN是等邊三角形，
∴AM=MN=CM，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CB，
∴MB是AC的垂直平分線，
∴BM⊥AC．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．