Question

【題目】如圖，點是雙曲線上的一個動點，連接并延長交雙曲線于點將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段若點在雙曲線上運(yùn)動，則_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連結(jié)AC、OC，易證AO⊥OC，；由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，可證△ADO∽△OEC．從而得到，；設(shè)點A坐標(biāo)為，則，設(shè)點C坐標(biāo)為，從而有，即．

解：∵雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱，

∴點A與點B關(guān)于原點對稱，則OA=OB，

如圖，連結(jié)AC、OC，

∵將線段AB繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，

∴△ABC是等邊三角形，，

∴OC⊥AB，△AOC為直角三角形，

∴，

∴

過點A作AD⊥x軸，垂足為D，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，

∵，

∴，

則，

∴，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

∵，

∴，，

設(shè)點A坐標(biāo)為，

∵點A在第一象限，

∴，

∴，，

又∵點在雙曲線上，

∴，

設(shè)點C坐標(biāo)為，

∵點C在第四象限，

∴，，

∴，

∴，

∵點在雙曲線上，

∴，

故答案為：．