Question

【題目】在邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如圖1，當(dāng)BE=2時(shí)，求FC的長；
（2）延長EF交正方形ABCD外角平分線CP于點(diǎn)P．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②小京通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有AE=PE．小京把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的三種想法：
想法1：在AB上截取AG=EC，連接EG，要證AE=PE，需證△AGE≌△ECP．
想法2：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H，連接BH，CH，EH．要證AE=PE，需證△EHP為等腰三角形．
想法3：將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BM，連接CM，EM，要證AE=PE，需證四邊形MCPE為平行四邊形．
請你參考上面的想法，幫助小京證明AE=PE．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解∵正方形ABCD的邊長為5，BE=2，

∴EC=3．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

∴△ABE∽△ECF，

∴ ，即 ，

∴FC=

（2）

解：①依題意補(bǔ)全圖形：

②證明：在AB上截取AG=EC，連接EG．

∵AB=BC，

∴GB=EB．

∵∠B=90°，

∴∠BGE=45°，

∴∠AGE=135°．

∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分線，

∴∠ECP=135°．

∴∠AGE=∠ECP．

在△AGE和△ECP中，

，

∴△AGE≌△ECP．

∴AE=PE．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出EC，證明△ABE∽△ECF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（2）①根據(jù)題意畫圖；②在AB上截取AG=EC，連接EG，證明△AGE≌△ECP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等；對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形即可以解答此題．