Question

【題目】以正方形的邊作等邊三角形，則的度數(shù)是______________ ．

Answer 1

【答案】30°或150°

【解析】

如果要求的度數(shù)，則要分兩種情況討論，第一種點在正方形的內(nèi)部，第二種情況點在正方形的外部，作圖如下，利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和分別求出∠AEB和∠DEC的度數(shù)，圖(1)是∠BEC＝60°﹣（∠AEB+∠DEC），圖(2)是∠BEC＝360°﹣∠AEB﹣∠AED﹣∠DEC即可求解．

解：如圖（1）中，當點E在正方形ABCD外時，

在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，

在等邊△ADE中，AD＝DE＝AE，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，

∴AB＝AE＝CD＝DE；

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°-∠BAE）＝（180°-90°-60°）＝15°；

同理可證∠DCE＝∠DEC＝15°，

∴在△AED中，

∠BEC＝60°-（∠AEB+∠DEC）＝60°﹣30°＝30°．

∴∠BEC的度數(shù)是30°．

如圖（2），當點E在正方形ABCD內(nèi)時，

同理，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CDE＝30°；

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣30°）＝75°；

同理∠DCE＝∠DEC＝（180°﹣30°）＝75°；

根據(jù)周角的定義，∠BEC＝360°﹣∠BEA﹣∠AED﹣∠DEC＝360°﹣75°﹣60°﹣75°＝150°．

故答案是：30°或150°．