【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,對角線AC =10cm,
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)如圖(2),若動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BC邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,運(yùn)動時(shí)間為t秒(0≤t<2),連接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;
(3)如圖(3),若點(diǎn)Q在對角線AC上,CQ=4cm,動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以每秒1cm的速度沿BC運(yùn)動至點(diǎn)C止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動了t秒,請你探索:從運(yùn)動開始,經(jīng)過多少時(shí)間,以點(diǎn)Q、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?請求出所有可能的結(jié)果.
【答案】(1)見解析;(2);(3)t=4秒或1.6秒或5.5秒.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)一對對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD是平行四邊形,再根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠B=90°,得出四邊形ABCD是矩形;
(2)先過Q作QM⊥BC于M點(diǎn),AP與BQ交于點(diǎn)N,判定△ABP∽△BMQ,得出,即,求得t的值即可;
(3)分為三種情況討論:當(dāng)CQ=CP=4cm時(shí),當(dāng)PQ=CQ=4cm時(shí),當(dāng)QP=CP時(shí),分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),求得BP的長,進(jìn)而得到t的值.
試題解析:
證明:(1)∵AB∥DC,AB=DC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵AB=6cm,BC=8cm,AC=l0cm,
∴AB2+BC2=100,AC2=100,
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠B=90°,
∴四邊形ABCD是矩形;
(2)如圖,過Q作QM⊥BC于M點(diǎn),AP與BQ交于點(diǎn)N,
則CQ=5t,QM=3t,CM=4t,MB=8-4t,
∵∠NAB+∠ABN=90°,∠ABN+∠NBP=90°,
∴∠NAB=∠NBP,且∠ABP=∠BMQ=90°,
∴△ABP∽△BMQ,
∴,
即,
解得t=;
(3)分為三種情況:①如圖1,
當(dāng)CQ=CP=4cm時(shí),
BP=8-4=4cm,
即t=4秒;
②如圖2,
當(dāng)PQ=CQ=4cm時(shí),過Q作QM⊥BC于M,
則AB∥QM,
∴,
∴,
∴CM=3.2(cm),
∵PQ=CQ,QM⊥CP,
∴PC=2CM=6.4cm,
∴BP=8cm-6.4cm=1.6cm,
∴t=1.6s;
③如圖3,當(dāng)QP=CP時(shí),過P作PN⊥AC于N,
則CN=CQ=2,∠CNP=∠B=90°,
∵∠PCN=∠BCA,
∴△PCN∽△ACB,
∴,
∴,
∴CP=2.5cm,
∴BP=8cm-2.5cm=5.5cm,
t=5.5s,
即從運(yùn)動開始,經(jīng)過4秒或1.6秒或5.5秒時(shí),以點(diǎn)Q、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,即t=4秒或1.6秒或5.5秒.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,且反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA、AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D,連結(jié)OD,若S△BOD=4,請回答下列問題:
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求C點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】如圖①,已知直線l1、l2,直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D,在直線l3上有動點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合),點(diǎn)A在直線l1上,點(diǎn)B在直線l2上.
(1)如果點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動時(shí),且滿足∠1+∠3=∠2,請寫出l1與l2之間的位置關(guān)系 ;
(2)如圖②如果l1∥l2,點(diǎn)P在直線l1的上方運(yùn)動時(shí),試猜想∠1+∠2與∠3之間關(guān)系并給予證明;
(3)如果l1∥l2,點(diǎn)P在直線l2的下方運(yùn)動時(shí),請直接寫出∠PAC、∠PBD、∠APB之間的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1,點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn).
(1)畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1;
(2)直接寫出AA1的長度;
(3)如圖2,A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn),D是直線MN上的一個(gè)動點(diǎn),在直線MN上畫出點(diǎn)D,使AD+DC最。ūA糇鲌D痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直線l上依次擺放著4023個(gè)正方形,已知斜放著放置的2011個(gè)正方形的面積分別是1、2、3、…、2011,正放置的2012個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、…S2012,請猜想:S1+S2+S3+S4+…S2012=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=24°,∠ACB=104°,AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D,AE平分∠BAC.
(1)求∠DAE的度數(shù).
(2)若∠B=α,∠ACB=β,其它條件不變,請直接寫出∠DAE與α、β的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把△ACE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與△BCD重合,BD、AE.交于點(diǎn) M,連接AB、DE.
(1)求證:△ABC和△CDE為等邊三角形;
(2)求∠AMB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)(a,y1)(a+2,y2)都在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,若y1>y2,則a的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明袋中裝有紅、黃、綠三種顏色的球共36個(gè),它們除顏色外都相同,其中黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的2倍,已知從袋中摸出一個(gè)球是紅球的概率為.
(1)分別求紅球和綠球的個(gè)數(shù).
(2)求從袋中隨機(jī)摸出一球是綠球的概率.
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