Question

【題目】（問題）

如圖1，在中，，過點(diǎn)作直線平行于．，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)，另一邊與交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系．

（探究發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，通過推理就可以得到，請寫出證明過程；

（數(shù)學(xué)思考）

（2）如圖3，若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過點(diǎn)作交于點(diǎn)，就可以證明，請完成證明過程；

（拓展引申）

（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是射線上一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時(shí)的值最大．若，請你直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見解析；【拓展引申】（3）時(shí)，有最大值為2．

【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得

根據(jù)證明即可推出

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明，再推出即可得=，則.

證明：【探究發(fā)現(xiàn)】

（1）∵

∴

∵

∴，且

∴

∴

即

【數(shù)學(xué)思考】

（2）∵

∴

∴，

∵

∴，且，

∴

∴

【拓展引申】

（3）如圖4，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

∵，

∴

∵

∴

∴

∴，且

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∵

∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，

∴

∴，且

∴

∴

∴

∴

∴時(shí)，有最大值為2．