Question

如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠ADE=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△ABC固定不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE、AD與邊BC的交點(diǎn)分別為F、G （點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合，點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合），設(shè)BF=a，CG=b．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D（1）中找出兩對(duì)相似但不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明．
（2）求b與a的函數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出自變量a的取值范圍．
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．若BG=CF，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，猜想線段BG、FG和CF之間的關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證．

Answer 1

分析：（1）找到有公共角的和45°角的兩個(gè)三角形即可；
（2）易得△ACG∽△FBA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得b與a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)a為1，點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，a為2可得a的取值；
（3）結(jié)合（3）的條件和（2）的結(jié)論可得a，b的值，進(jìn)而計(jì)算可得G、F的坐標(biāo)，分別表示出BG、FG和CF的長(zhǎng)度，看有什么等量關(guān)系即可．

解答：解：（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．
∵∠GAF=∠C=45°，
∠AGF=∠AGC，
∴△ACG∽△FAG．類似證明△FAG∽△FBA；

（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，
∴∠CAG=∠BFA．
∵∠B=∠C=45°，
∴△ACG∽△FBA，
∴

CG

BA

=

CA

FB

．
由題意可得CA=BA=

2

．
∴

b

2

=

2

a

．∴b=

2

a

．
自變量a的取值范圍為1＜a＜2．

（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．
∵b=

2

a

，
∴a=b=

2

．
∵OB=OC=

1

2

BC=1，
∴OF=OG=

2

-1．
∴G（1-

2

，0）．
線段BG、FG和CF之間的關(guān)系為BG²+CF²=FG²；
∵BG=OB-OG=1-(

2

-1)=2-

2

=CF，
FG=BC-2BG=2-2(2-

2

)=2

2

-2．
∵BG2+CF2=2BG2=2(2-

2

)2=12-8

2

，FG2=(2

2

-2)2=12-8

2

．
∴BG²+CF²=FG²．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；利用兩角對(duì)應(yīng)相等得到所需的兩三角形相似進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊的比成比例是解決本題的關(guān)鍵．