Question

（2012•臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求證：△ABD≌△CBE；
（2）如圖2，當(dāng)點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS定理可知△ABD≌△CBE；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據(jù)點D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．

解答：（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD與△CBE中，
∵

BA=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE …4分

（2）解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：
同（1）可證△ABD≌△CBE，
∴CE=AD，
∵點D是△ABC外接圓圓心，
∴DA=DB=DC，
又∵BD=BE，
∴BD=BE=CE=CD，
∴四邊形BDCE是菱形．

點評：本題考查的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定定理，先根據(jù)題意判斷出△ABD≌△CBE是解答此題的關(guān)鍵．