Question

【題目】如圖，在等邊中，是邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn) ，），是的外角 的平分線上一點(diǎn)，且．

（1）尺規(guī)作圖：在直線的下方，過(guò)點(diǎn)作，作的延長(zhǎng)線，與相交于點(diǎn).

（2）求證：是等邊

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，作一個(gè)角等于已知角的做法作出∠CBE，再延長(zhǎng)NC與BE交于E；

（2）由△ABC是等邊三角形，易得∠CBE=∠BCE=60°，從而判定等邊三角形；

（3）連接EM，易證△ABM≌△EBM，推出ME=MN，得到∠MEN=∠MNE，再利用∠NMC+∠MNE=∠BEM+∠MEN=60°，推出∠NMC=∠BEM=∠BAM，最后由等量代換可得出∠AMB+∠NMC=120°，從而得到∠AMN=60°.

（1）如圖所示，

（2）證明：∵△ABC為等邊三角形

∴∠CBA=∠ACB=60°，

∴∠ACH=180°-60°=120°，

又∵CN平分∠ACH

∴∠NCH=∠ACH=60°

∴∠BCE=∠NCH=60°

又∵∠CBE=∠CBA

∴在△BEC中，

∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，

∴△BEC是等邊△BEC.

（3）連接EM，

∵△ABC和△BEC都是等邊三角形，

∴AB=BC=BE，∠ABM=∠EBM=60°，

在△ABM和△EBM中，

∴△ABM≌△EBM（SAS）

∴AM=EM，∠BAM=∠BEM，

又∵AM=MN

∴EM=MN，

∴∠MEN=∠MNE

∵∠NCH=∠NMC+∠MNE=60°，∠BEM+∠MEN=60°

∴∠NMC=∠BEM

∴∠NMC=∠BEM=∠BAM

∵∠BAM+∠AMB=180°-∠ABM=120°

∴∠AMB+∠NMC=120°

∴∠AMN=180°-（∠AMB+∠NMC）=60°.