Question

（2006•麗水）為了探索三角形的內(nèi)切圓半徑r與周長(zhǎng)L、面積S之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，選取等邊三角形（圖甲）和直角三角形（圖乙）進(jìn)行研究．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F．

（1）用刻度尺分別量出表中未度量的△ABC的長(zhǎng)，填入空格處，并計(jì)算出周長(zhǎng)L和面積S．（結(jié)果精確到0.1厘米）

	AC	BC	AB	r	L	s
圖甲				0.6
圖乙			5.0	1.0

（2）觀(guān)察圖形，利用上表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析、猜測(cè)特殊三角形的r與L、S之間關(guān)系，并證明這種關(guān)系對(duì)任意三角形（圖丙）是否也成立？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先運(yùn)用刻度尺進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量，然后根據(jù)周長(zhǎng)等于三邊之和進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)面積等于分割成的三個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，易猜想得到r=．再根據(jù)三角形的總面積等于分割成的三部分的面積進(jìn)行計(jì)算證明．
解答：解：（1）

	AC	BC	AB	r	L	s
圖甲	2.0	2.0	2.0	0.6	6.0	1.7（或1.8）
圖乙	3.0	4.0	5.0	1.0	12.0	6.0

（2）由圖表信息猜測(cè)，得r=（或者2s=Lr）并且此關(guān)系對(duì)一般三角形都成立．
證明：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OA、OB、OD，得
S=BC•r+AC•r+AB•r=Lr
∴r=．
點(diǎn)評(píng)：此題導(dǎo)出了三角形的內(nèi)切圓半徑的一個(gè)公式，即三角形的內(nèi)切圓的半徑等于面積的2倍除以周長(zhǎng)．