Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求直線的解析式；

（2）點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn)，若為直角邊構(gòu)造直角三角形，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖 2，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作，射線交軸的負(fù)半軸與點(diǎn)，射線交軸的負(fù)半軸與點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，直接寫出它的值；若變化，直接寫出它的變化范圍（不要解題過(guò)程） ．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或或；(3)8.

【解析】

（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；

（2）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AB的垂線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得OM的長(zhǎng)即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）過(guò)A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為G、H，可證明，可得到，從而可把OC-OD利用線段的和差轉(zhuǎn)化為 =8；

解：

（1）設(shè)直線的解析式為：．

點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，

，解得，

直線的解析式為：；

（2）是以為直角邊的直角三角形，

有或，

①當(dāng)時(shí)，如圖1，

過(guò)作的垂線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

則可知，

，

由（1）可知，

，解得，

，

，

軸，

，即，解得，

；

②當(dāng)時(shí)，如圖2，

過(guò)作的垂線，交軸于點(diǎn)，

設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則由（1）可知，

，，

由題意可知△，

，即，解得，

，

綜上可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；

（3）不變 ．

理由如下：

過(guò)點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，垂足分別為、，如圖3．

則，

又，

，

，

，

，

．

，

．

在和中

，

，

．

．

故的值不發(fā)生變化，值為8．