Question

如圖1，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為，若∆ABC固定不動(dòng)，∆AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)證明它們相似；
（2）根據(jù)圖1，求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以∆ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2). 旋轉(zhuǎn)∆AFG，使得BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證；
(4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系是否始終成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA，證明見解析(2)
（3）（1- ，0），證明見解析(4）成立，證明見解析

解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA                                  1分
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA  又∠B=∠C=45°
∴∆ABE∽∆DCA      3分
(2)∵∆ABE∽∆DCA  ∴ 由依題意可知 
∴                               5分
自變量n的取值范圍為              6分
(3) ∵BD=CE，
∴BE=CD．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD=AE．
∵△BAE∽△CDA，
∴CD=AB=，易得CO=1．
∴OD=-1，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1- ，0）．
∵BD=2-，CE=2-，DE=2-2BD=2 -2，
∴BD²+CE²=DE²．
(4)成立                      10分
證明:如圖,將∆ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至∆ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋轉(zhuǎn)角∠EAH="90°." 連接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD
∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH 即BD＋CE=DE          12分
（1）根據(jù)“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；
（2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，則有△ABE∽△DCA，因?yàn)橄嗨迫�角形的�?duì)應(yīng)邊成比例，所以，，再把已知數(shù)據(jù)代入求解即可．
（3）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，則AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD="AB=" ，由OC=1得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求的代數(shù)式．
（4）可旋轉(zhuǎn)一特殊角的度數(shù)，求解，得到一般結(jié)論．