Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=60cm，∠A=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/秒的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤30）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）填空：四邊形BEFD是_________；

（2）當(dāng)t=______時(shí)，四邊形BEFD能夠成為菱形。

（3）當(dāng)t為何值時(shí)？△DEF為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）20；（3）t＝15或24秒時(shí)，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）利用t表示出BE的長(zhǎng)，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行四邊形的判定解答即可；

（2）由菱形的性質(zhì)可得關(guān)于t的方程，解方程即得結(jié)果；

（3）分三種情況：顯然∠DFE＜90°；當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，如圖1，利用矩形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得關(guān)于t的方程，解方程即得結(jié)果；當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，如圖2，易得∠BDE＝90°，然后利用30°角的直角三角形的性質(zhì)解答．

證明：（1）∵∠A＝30°，DF⊥AC，AD＝2t，BE＝t，

∴DF＝AD＝t＝BE，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BE，且DF＝BE，

∴四邊形BEFD是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

（2）當(dāng)BD＝BE時(shí)，四邊形BEFD能夠成為菱形，

此時(shí)60﹣2t＝t，∴t＝20，

∴當(dāng)t＝20s，四邊形BEFD能夠成為菱形；

故答案為：20；

（3）∵∠DFE＜∠DFC，∴∠DFE＜90°；

當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，如圖1，

∵∠ACB＝∠EDF＝∠CFD＝90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∴DF＝EC＝t，

∵∠C=90°，AB=60cm，∠A=30°，

∴cm，

∴t＝30﹣t，

∴t＝15；

當(dāng)∠DEF＝90°，如圖2，

∵四邊形BEFD是平行四邊形，

∴BD∥EF，

∴∠BDE＝∠DEF＝90°，且∠B＝60°，

∴∠DEB＝30°，

∴BE＝2BD，

∴2（60﹣2t）＝t，

∴t＝24．

綜上所述：當(dāng)t＝15或24秒時(shí)，△DEF為直角三角形．