Question

【題目】有這樣一個(gè)問題：探究同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)與的圖象性質(zhì)小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究設(shè)函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為A、下面是小明的探究過程：

（1）如圖所示，若已知A的坐標(biāo)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

（2）若A的坐標(biāo)為，P點(diǎn)為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)．

①設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M，直線PB交x軸于點(diǎn)求證：．

證明過程如下：設(shè)，直線PA的解析式為．

則

解得

所以，直線PA的解析式為______．

請(qǐng)把上面的解答過程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明．

②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，判斷的形狀，并用k表示出的面積．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①，，；②直角三角形，或.

【解析】

（1）根據(jù)正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）①設(shè)P（m，），根據(jù)點(diǎn)P、A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線PA的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，由點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出MH的長(zhǎng)度，同理可得出HN的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證出PM=PN；

②根據(jù)①結(jié)合PH、MH、NH的長(zhǎng)度，可得出△PAB為直角三角形，分k＞1和0＜k＜1兩種情況，利用分割圖形求面積法即可求出△PAB的面積．

解：（1）由正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

故答案為：．

（2）①證明過程如下，

設(shè)，直線PA的解析式為．

則，

解得：，

直線PA的解析式為．

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

過點(diǎn)P作軸于H，如圖1所示，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

．

同理可得：，

．

，

．

故答案為：，，；

②由（2）①可知，在中，，

為等腰三角形，且．

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，

，

，，

，即，

為直角三角形．

當(dāng)時(shí)，如圖1，

，

，

，

；

當(dāng)時(shí)，

，

，

，

．