Question

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB的長(zhǎng)為x．
小題1:當(dāng)x的值為_(kāi)___________時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形
小題2:當(dāng)x的值為_(kāi)___________時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
小題3:點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說(shuō)明理由．

Answer 1

小題1:3或8
小題2:1或11
小題3:由（2）知，當(dāng)BP=11時(shí)，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形

解：（1）如圖，分別過(guò)A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4 ，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DEB=90°，
當(dāng)∠APC=90°時(shí)，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當(dāng)∠DEB=90°時(shí)，
∴P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當(dāng)x的值為3或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；
（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：
①當(dāng)P在E的左邊，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)x的值為1或11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
（3）由（2）知，當(dāng)BP=11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
∴EP=AD=5，
過(guò)D作DN⊥BC于N，
∵CD=4 ，∠C=45°，
則DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP=
∴EP=DP，
故此時(shí)?PDAE是菱形．
即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形