Question

如圖，直線y=x與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，AB⊥y軸，垂足為B，點(diǎn)C在射線BA上（端點(diǎn)除外），點(diǎn)E在x軸上，且∠OCE=90°，CH⊥x軸，垂足為H，并與反比例函數(shù)y=

k

x

圖象交于點(diǎn)G．
（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），求k的值；
（2）在（1）的條件下，求證：HG=HE．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=

k

x

即可求出k的值；
（2）設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，4），G點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

16

a

），則GH=

16

a

，利用等角的余角相等得到∠OCH=∠CEH，根據(jù)相似三角形的判定得Rt△OCH∽Rt△CEH，則OH：CH=CH：EH，然后把OH=a，CH=4代入得到EH=

16

a

，于是有HG=HE．

解答：（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），AB⊥y軸，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，
∵點(diǎn)A在直線y=x上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），
把A（4，4）代入y=

k

x

得k=4×4=16；
（2）證明：反比例函數(shù)的解析式為y=

16

x

，
設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∵CH⊥x軸，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，4），G點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

16

a

），
∴GH=

16

a

，
∵∠CHO=∠OCE=90°，
∴∠OHC-∠HOC=∠OCE-∠EOC，即∠OCH=∠CEH，
∴Rt△OCH∽Rt△CEH，
∴OH：CH=CH：EH，
∴EH=

CH2

OH

，
∵OH=a，CH=4，
∴EH=

16

a

，
∴HG=HE．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其函數(shù)解析式；常用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；正確運(yùn)用三角形相似的判定與性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．