Question

如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E為直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F．問是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²-1（a≠0），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可得出答案；
（2）由直線BC的解析式知，∠OBC=∠OCB=45°．又由題意知∠EFD=∠COB=90°，所以只有△EFD∽△COB．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，-1），
∴可設(shè)該函數(shù)解析式為：y=a（x-2）²-1（a≠0），
又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴3=a（0-2）²-1，
解得a=1，
∴該拋物線的解析式是y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似．
由（1）知，該拋物線的解析式是y=x²-4x+3，即y=（x-1）（x-3），
∴該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0），B（3，0）．
∵C（0，3），
∴易求直線BC的解析式為：y=-x+3．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
又∵點(diǎn)D是對稱軸上的一點(diǎn)，
∴D（2，1）．
如圖，連接DF．
∵EF∥y軸，
∴只有∠EFD=∠COB=90°．
∵以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似，
∴∠DEF=∠FDE=45°，
∴只有△EFD∽△COB．
設(shè)E（x，-x+3），則F（x，1），
∴1=x²-4x+3，
解得x=2±

2

，
∠EDF=90°；易知，直線AD：y=x-1，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=x-1，解得 x₁=1、x₂=4；
當(dāng)x=1時，y=-x+3=2；
當(dāng)x=4時，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）．
∴E（2-

2

，1+

2

）或E′（2+

2

，1-

2

）或（1，2）或（4，-1）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題時，利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．注意解答（2）時，只有△EFD∽△COB一種情況．