(2013•相城區(qū)模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BD交AB于E,⊙O是△BDE的外接圓,交BC于點F
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)連結(jié)EF,若BC=9,CA=12,求
EF
AC
的值;
(3)若F是弧BD的中點,過F作FG⊥BE于G.求證:GF=
1
2
BD.
分析:(1)先根據(jù)DE⊥BD交AB于E,⊙O是△BDE的外接圓,得出BE是⊙O的直徑,點O是BE的中點,連結(jié)OD,根據(jù)∠C=90°,得出∠DBC+∠BDC=90°,再根據(jù)∠ABD=∠DBC,
∠ABD=∠ODB,得出∠ODB+∠BDC=90°,∠ODC=90°,即可證出AC是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,先求出AB=15,再根據(jù)∠A=∠A,∠ADO=∠C=90°,證出△ADO∽△ACB,得出
15-r
15
=
r
9
,BE=
45
4
,根據(jù)BE是⊙O的直徑,得出∠BFE=90°,則△BEF∽△BAC,從而證出
EF
AC
=
BE
BA
=
45
4
15
=
3
4
;
(3)連結(jié)OF,交BD于H,先證出BH=
1
2
BD,∠BHO=90°,在證出∠FGO=∠BHO=90°,最后根據(jù)OF=BO,∠FOG=∠BOH,證出△FOG≌△BOH,即可得出答案.
解答:解:(1)∵DE⊥BD交AB于E,⊙O是△BDE的外接圓,
∴BE是⊙O的直徑,點O是BE的中點,
連結(jié)OD,
∵∠C=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
∴∠ODB+∠BDC=90°,
∴∠ODC=90°,
∵OD是⊙O的半徑,
∴AC是⊙O的切線;

(2)設(shè)⊙O的半徑為r,
在Rt△ABC中,AB2=BC2+CA2=92+122=225,
∴AB=15,
∵∠A=∠A,∠ADO=∠C=90°,
∴△ADO∽△ACB,
AO
AB
=
OD
BC
,
15-r
15
=
r
9
,
∴r=
45
8

即BE=
45
4
,
∵BE是⊙O的直徑,
∴∠BFE=90°,
∴△BEF∽△BAC,
EF
AC
=
BE
BA
=
45
4
15
=
3
4
,;

(3)連結(jié)OF,交BD于H,
∵F是弧BD的中點,OF是⊙O的半徑,
∴BH=
1
2
BD,∠BHO=90°,
∵FG⊥BE,
∴∠FGO=∠BHO=90°,
又∵OF=BO,∠FOG=∠BOH,
在△FOG和△BOH中,
∠FGO=∠BHO
∠FOG=∠BOH
OF=BO
,
∴△FOG≌△BOH(AAS),
∴GF=BH=
1
2
BD.
點評:本題考查了圓的綜合,用到的知識點是圓的有關(guān)性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出輔助線.
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2
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80
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(1)該拋物線的對稱軸為
直線x=2
直線x=2
,B點坐標為(
3,0
3,0
),CO=
3
3
;
(2)若P為線段OC上的一個動點,四邊形PBQD是平行四邊形,連接PQ.試探究:
①是否存在這樣的點P,使得PQ2=PB2+PD2?若存在,求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
②當PQ長度最小時,求出此時點Q的坐標.

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