Question

【題目】問題提出

（1）如圖1．已知∠ACB＝∠ADB＝90°，請用尺規(guī)作圖作出△ABD的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；點(diǎn)C是否在△ABD的外接圓上　 （填“是”或“否”）．

問題探究

（2）如圖2．四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD．求證：CA+CB＝CD；

（3）如圖3．點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，EB＝AB且EA＝BA．點(diǎn)Q是線段AE的中點(diǎn)，請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)E，并求線段PQ與AB之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】問題提出（1）作△ABD的外接圓，見解析；是；問題探究（2）見解析；（3）畫出點(diǎn)E，見解析； PQ＝AB，PQ＝AB．

【解析】

（1）作AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，以O為圓心，AO長為半徑作圓，即為△ABD的外接圓，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可說明C在圓上；

（2）如圖2，作輔助線，把AC+BC轉(zhuǎn)化為CE，可證得△CDE是等腰直角三角形，從而右證明結(jié)論成立；

（3）以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑作圓，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)為E，注意有兩個(gè)交點(diǎn)都符合題意；連接BQ，BP，設(shè)AB＝3x，在Rt中求得，易證得AQBP四點(diǎn)共圓且AP＝BP，AP⊥BP，運(yùn)用（2）的結(jié)論可求得PQ的值，繼而求得線段PQ與AB之間的數(shù)量關(guān)系．

問題提出

（1）作AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，以O為圓心，AO長為半徑作圓，即為△ABD的外接圓，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

∴點(diǎn)C在△ABD的外接圓上，

故答案為：是；

問題探究

（2）如圖2，將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三點(diǎn)共線，

∴∠CAE為平角，

由旋轉(zhuǎn)知，AE＝BC，DE＝CD，∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∵CE＝AE+AC＝BC+AC，

∴CA+CB＝CD；

（3）如圖3，連接BQ，BP，

∵以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑作圓，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)為E，

∴點(diǎn)A的左右各有個(gè)點(diǎn)E，

設(shè)AB＝3x，則AE＝x，

若點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，

∵BE＝AB，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，

∴BQ⊥AE，AQ＝EQ＝，

∴BQ＝，

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是對角線AC的中點(diǎn)，

∴AP＝BP，AP⊥BP，

由（2）的結(jié)論可得：AQ+BQ＝PQ，

∴PQ＝

∴PQ＝，

∴PQ＝，

若點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)，

同理可求：PQ＝．