Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，3)．矩形O'A'BC'是矩形OABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．O'點(diǎn)恰好在x軸的正半軸上， O'C'交AB于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)O'的坐標(biāo)，并判斷△O'DB的形狀（要說(shuō)明理由）

(2)求邊C'O'所在直線的解析式．

(3)延長(zhǎng)BA到M使AM=1，在(2)中求得的直線上是否存在點(diǎn)P，使得ΔPOM是以線段OM為直角邊的直角三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)O'的坐標(biāo)(2，0)，△O'DB為等腰三角形，理由略見解析；(2)邊C'O'所在直線的解析式： ； (3)P(2,0)，

【解析】

（1）連接OB，O′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B，再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′，然后根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出AO的長(zhǎng)度，再得到AO′的長(zhǎng)度，點(diǎn)O′的坐標(biāo)即可得到；利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，a），表示出O′D的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式；

（3）根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解：（1）如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，

∵四邊形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)是（2，0），
△O′DB為等腰三角形，
理由如下：在△BC′D與△O′AD中，

∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），則AD=a，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
∴a2+12=（3-a）2，
解得

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

設(shè)直線C′O′的解析式為y=kx+b，
則解得

∴邊C′O′所在直線的解析式：

（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角邊時(shí)，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，點(diǎn)P與點(diǎn)O′重合，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），
②PO是另一直角邊，∠POA=45°，則PO所在的直線為y=x，
∴

解得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，0）或