Question

【問(wèn)題提出】

規(guī)定：四條邊對(duì)應(yīng)相等，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．

我們借助學(xué)習(xí)“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法對(duì)“全等四邊形的判定”進(jìn)行探究．

【初步思考】

在兩個(gè)四邊形中，我們把“一條邊對(duì)應(yīng)相等”或“一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”稱為一個(gè)條件，滿足4個(gè)條件的兩個(gè)四邊形不一定全等，如邊長(zhǎng)相等的正方形與菱形就不一定全等．類似地，我們?nèi)菀字�道兩個(gè)四邊形全等至少需要5個(gè)條件．

【深入探究】

小莉所在學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了研究，她們認(rèn)為5個(gè)條件可分為以下四種類型：

Ⅰ一條邊和四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；

Ⅱ二條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；

Ⅲ三條邊和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；

Ⅳ四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等．

（1）小明認(rèn)為“Ⅰ一條邊和四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)四邊形不一定全等，請(qǐng)你舉例說(shuō)明．

（2）小紅認(rèn)為“Ⅳ四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)四邊形全等，請(qǐng)你結(jié)合下圖進(jìn)行證明．

已知：如圖，           ．

求證：                      ．

證明：

（3）小剛認(rèn)為還可以對(duì)“Ⅱ二條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”進(jìn)一步分類，他以四邊形和四邊形為例，分為以下四類：

①，，，，；

②，，，，；

③，，，，；

④，，，，；

其中能判定四邊形和四邊形全等的是      （填序號(hào)），概括可得“全等四邊形的判定方法”，這個(gè)判定方法是          ．

（4）小亮經(jīng)過(guò)思考認(rèn)為也可以對(duì)“Ⅲ三條邊和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”進(jìn)一步分類，請(qǐng)你仿照小剛的方法先進(jìn)行分類，再概括得出一個(gè)全等四邊形的判定方法．

Answer 1

解：（1）如正方形與矩形有一條邊對(duì)應(yīng)相等，但顯然不一定全等．  ……………2分

（2）已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB＝A₁ B₁，BC＝B₁ C₁，CD＝C₁ D₁，DA＝D₁A₁，∠B＝∠B₁ ．

    求證：四邊形ABCD ≌ 四邊形A₁ B₁ C₁ D₁．………………………………………3分

證明：連接AC、A₁ C₁．

∵ AB＝A₁ B₁，∠B＝∠B₁ ，BC＝B₁ C₁，

∴ △ABC ≌ △A₁ B₁ C₁．

∴ AC＝A₁ C₁，∠BAC＝∠B₁ A₁ C₁，

∠BCA＝∠B₁ C₁A₁．

又∵CD＝C₁ D₁，DA＝D₁A₁，

∴ △AC D≌ △A₁ B₁ C₁．

∴ ∠D＝∠D₁．

∴ ∠BAD＝∠B₁ A₁ D₁，∠BCD＝∠B₁ C₁ D₁．

∴ 四邊形ABCD ≌ 四邊形A₁ B₁ C₁ D₁．……………………………………………6分

（3）①②③；    ………………………………………………………………………7分

    有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等.  ……………………………8分

（4）分為四類：

① AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁；

② AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠C=∠C₁；

③ AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠D=∠D₁；

④ AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．…………………11分

    有三條邊和這三條邊中每一組鄰邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．……12分